Integral resuelta paso a paso

Integral de (sen x + cos x)²

Resolvemos ∫ (sen x + cos x)² dx —la integral de (sen x + cos x)²— paso a paso de forma directa. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Es una integral inmediata. Por la linealidad integramos término a término (las constantes salen fuera) y usamos la tabla de primitivas (potencia, exponencial, logaritmo o trigonométricas según el caso).

   $$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\int \cos xdx=\sin x,\int \sin xdx=-\cos x$$
2. 2

   Integramos cada término aplicando su primitiva:

   $$\int (\sin x+\cos x{)}^{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)}{2}+\frac{x}{2}-\frac{\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)}{2}+{\sin }^2\left(x\right)$$
3. 3

   Operamos y añadimos la constante de integración C:

   $$=x-\frac{1}{2}\cos 2x+C$$

Por tanto, la integral de (sen x + cos x)² es x − 1/2 cos 2x + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (sen x + cos x)².

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la integración directa

¿Por qué este método? Se desarrolla (sen x+cos x)²=1+sen 2x y se integra.

Error típico. No usar sen²+cos²=1 al desarrollar el cuadrado.

Teoría: Tabla de integrales →

Más integrales de directa

$$\int \frac{(\sqrt{x}+1{)}^2}{x}dx$$

$$\int {\tan }^{2}xdx$$

$$\int \frac{x^4+x^2+1}{x^2}dx$$

$$\int {\cot }^{2}xdx$$

$$\int (x+3{)}^{2}dx$$

$$\int \frac{1}{1+\cos x}dx$$

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