Integral definida resuelta paso a paso

El sueño del estudiante: ∫₀¹ xˣ dx

Resolvemos el sueño del estudiante: ∫₀¹ xˣ dx paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Escribe xˣ=e^{x ln x} y desarrolla en serie; integra término a término por partes.

   $$x^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(x\ln x{)}^n}{n!}$$
2. 2

   Sale la sorprendente identidad («el sueño del estudiante»).

   $${\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^n}$$

Por tanto, el resultado de el sueño del estudiante: ∫₀¹ xˣ dx es sumn=1^∞((-1)^(n + 1))/n^n.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? «El sueño del estudiante»: escribiendo xˣ=e^{x ln x} y desarrollando en serie, la integral iguala a una serie con la misma forma. Simetría absurda.

Error típico. Buscar una primitiva elemental de xˣ: no existe. Se resuelve por serie.

Más integrales de series

$${\int }_0^{\infty }\frac{\arctan (ax)}{x(1+x^2)}dx$$

$${\int }_0^1\frac{x-1}{\ln x}dx$$

$$\int \frac{\mathrm{sen}x}{x}dx$$

$$\int e^{-x^2}dx$$

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