Integral definida resuelta paso a paso

Integral definida de arctg(ax)/(x(1 + x²)) entre 0 e infinito

Resolvemos integral definida de arctg(ax)/(x(1 + x²)) entre 0 e infinito paso a paso. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Técnica de Feynman: deriva respecto al parámetro a.

   $$\frac{\partial }{\partial a}{\int }_0^{\infty }\frac{\arctan (ax)}{x(1+x^2)}dx$$
2. 2

   Resuelve la integral resultante (racional) e integra de nuevo en a.

   $${\int }_0^{\infty }\frac{dx}{(1+a^2{x}^2)(1+x^2)}=\frac{\pi }{2(1+a)}$$
3. 3

   Integrando en a desde 0.

   $$I(a)=\frac{\pi }{2}\ln (1+a)$$

Por tanto, el resultado de integral definida de arctg(ax)/(x(1 + x²)) entre 0 e infinito es π/2 ln(1 + a).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre esta integral

¿Por qué este método? La técnica de Feynman: derivar respecto al parámetro a convierte la integral en una racional resoluble, y luego se integra en a.

Error típico. Intentar una primitiva directa: hay que derivar respecto al parámetro a.

Más integrales de series

$${\int }_0^1\frac{x-1}{\ln x}dx$$

$${\int }_0^1{x}^{x}dx$$

$$\int \frac{\mathrm{sen}x}{x}dx$$

$$\int e^{-x^2}dx$$

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