Integral resuelta paso a paso

Integral de (x² + 1)/(x − 1)³

Resolvemos ∫ (x² + 1)/(x − 1)³ dx —la integral de (x² + 1)/(x − 1)³— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Cambio u=x−1, x=u+1, x²+1=u²+2u+2.

   $$\int \frac{u^2+2u+2}{u^3}du$$
2. 2

   Reparte e integra.

   $$\int (u^{-1}+2u^{-2}+2u^{-3})du$$

Por tanto, la integral de (x² + 1)/(x − 1)³ es ln|x − 1|-2/(x − 1) − 1/(x − 1)² + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (x² + 1)/(x − 1)³.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? El truco del cambio u=x−1 reescribe el numerador en potencias de u, todas inmediatas.

Error típico. Intentar fracciones parciales sobre (x−1)³ cuando el cambio u=x−1 lo hace directo.

Teoría: Cambio de variable →

Más integrales de sustitución

$$\int \frac{1}{x^2}\cos \left(\frac{1}{x}\right)dx$$

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}$$

$$\int {\tan }^{2}x{\sec }^{2}xdx$$

$$\int {\cos }^{4}x\sin xdx$$

$$\int \sin x\cos xdx$$

$$\int \cot xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx$$

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