Integral resuelta paso a paso

Integral de √(x − 1)/x

Resolvemos ∫ √(x − 1)/x dx —la integral de √(x − 1)/x— paso a paso por sustitución (cambio de variable). Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado y la explicación en vídeo.

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✎ Solución paso a paso

1. 1
   $$u=\sqrt{x-1}\Rightarrow x=u^2+1,dx=2udu$$
2. 2
   $$=\int \frac{u}{u^2+1}2udu=2\int \frac{u^2}{u^2+1}du$$
3. 3
   $$=2\int (1-\frac{1}{u^2+1})du$$
4. 4
   $$=2u-2\arctan u$$

Por tanto, la integral de √(x − 1)/x es 2√(x − 1) − 2 arctg(√(x − 1)) + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar √(x − 1)/x.

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la sustitución (cambio de variable)

¿Por qué este método? El cambio u=√(x−1) racionaliza la raíz del numerador.

Error típico. No recalcular el dx al cambiar de variable, o no deshacer el cambio al final.

Teoría: Cambio de variable →

▶ Explicación en vídeo

Te explico esta integral paso a paso en vídeo. Del canal de YouTube DVC Profe.

Ver en YouTube →

Más integrales de sustitución

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$$

$$\int x\sqrt[3]{x+2}dx$$

$$\int \frac{dx}{x-\sqrt{x}}$$

$$\int \frac{dx}{1-\sqrt{x}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$$

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(4+x)}$$

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