Integral resuelta paso a paso

Integral de (3x² + 2x)/(x³ + x² + 5)

Resolvemos ∫ (3x² + 2x)/(x³ + x² + 5) dx —la integral de (3x² + 2x)/(x³ + x² + 5)— paso a paso de forma directa. Abajo tienes el procedimiento completo, el resultado.

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Observamos que el numerador es exactamente la derivada del denominador.

   $$d(x^3+x^2+5)=(3x^2+2x)dx$$
2. 2

   Esta integral es inmediata, con la forma del logaritmo neperiano.

   $$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$$
3. 3

   Aplicamos la regla.

   $$\ln |x^3+x^2+5|+C$$

Por tanto, la integral de (3x² + 2x)/(x³ + x² + 5) es ln|x³ + x² + 5| + C. Puedes comprobarlo derivando el resultado: su derivada vuelve a dar (3x² + 2x)/(x³ + x² + 5).

Resuelto y explicado por Daniel · sobre el autor

◆ Sobre la integración directa

¿Por qué este método? El numerador 3x²+2x es exactamente la derivada del denominador x³+x²+5: es un f′/f, cuya primitiva es el logaritmo del denominador.

Error típico. No reconocer el f′/f y lanzarse a fracciones parciales.

Teoría: Tabla de integrales →

Más integrales de directa

$$\int x^{5}dx$$

$$\int x^{10}dx$$

$$\int 7x^{3}dx$$

$$\int (x^2+x^7)dx$$

$$\int \frac{x^6}{3}dx$$

$$\int (4x^3-6x^2+2x-9)dx$$

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