Resuelve la integral

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✎ Solución paso a paso

1. 1

   Esta es una integral clásica y de nivel avanzado. Primero factorizamos el denominador añadiendo y restando 2x^2.

   $$x^4+1=(x^2+1{)}^2-2x^2=(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)$$
2. 2

   Separamos en fracciones parciales con numeradores lineales.

   $$\frac{1}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+\sqrt{2}x+1}$$
3. 3

   Al resolver el sistema (un proceso largo), obtenemos los coeficientes.

   $$A=-\frac{\sqrt{2}}{4},B=\frac{1}{2},C=\frac{\sqrt{2}}{4},D=\frac{1}{2}$$
4. 4

   Las integrales resultantes se resuelven completando cuadrados, dando arcotangentes y logaritmos.

   $$\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln \left|\frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}\right|+\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\arctan (\sqrt{2}x+1)+\arctan (\sqrt{2}x-1)\right)+C$$

Más de fracciones parciales

$$\int \frac{1}{x^2-1}dx$$

$$\int \frac{x+1}{x^2+x-2}dx$$

$$\int \frac{2x+3}{x^2+x}dx$$

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