Conjuntos numéricos: de ℕ a ℂ
Naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos
Antes de derivar nada hay que saber con qué números estamos trabajando. Cálculo I no va de números naturales: va de números reales, y casi todo lo que se demuestra en el curso depende de una propiedad que ℝ tiene y ℚ no. Esta primera lección monta ese terreno.
La cadena de conjuntos
Los conjuntos numéricos no aparecen por capricho: cada uno nace porque en el anterior hay una operación que no se puede hacer.
| Conjunto | Aparece porque… | No se puede… |
|---|---|---|
| ℕ naturales | hay que contar | restar (3 − 5) |
| ℤ enteros | queremos restar siempre | dividir (3 : 5) |
| ℚ racionales | queremos dividir siempre | medir la diagonal del cuadrado (√2) |
| ℝ reales | queremos que la recta no tenga agujeros | resolver x² = −1 |
| ℂ complejos | queremos que todo polinomio tenga raíces | ordenar (i > 0 no significa nada) |
ℕ · Los naturales
Son cerrados para la suma y el producto: si sumas o multiplicas dos naturales, el resultado sigue siendo natural. No lo son para la resta, y de ahí nace ℤ.
La propiedad de ℕ que más vas a usar en este curso no es aritmética, es lógica: el principio de inducción, que tiene su propia lección al final de este bloque.
ℤ · Los enteros
Cerrados para suma, resta y producto (es un anillo). No para la división: 3/5 ∉ ℤ.
ℚ · Los racionales
En ℚ ya se puede sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por 0): ℚ es un cuerpo. Además está ordenado, y ese orden es compatible con las operaciones.
Cómo reconocer un racional mirando sus decimales
Esto resuelve de un vistazo la confusión más habitual del tema:
- 0,375 → finito → racional (= 3/8)
- 0,3333… → periódico → racional (= 1/3)
- 0,1212121… → periódico → racional (= 4/33)
- 3,14159265… (π) → infinito y no periódico → irracional
- 0,101001000100001… → infinito y no periódico → irracional
ℚ es denso, pero tiene agujeros
Entre dos racionales distintos siempre hay otro racional (por ejemplo, la media). Repitiendo, hay infinitos. A eso se le llama densidad, y es una propiedad muy fuerte: los racionales están por todas partes en la recta.
Y aun así, la recta no está llena.
Demostración por reducción al absurdo
Supongamos que sí existe. Entonces √2 = p/q con p, q ∈ ℤ, q ≠ 0, y podemos suponer la fracción irreducible (si no lo fuera, la simplificamos).
- Elevando al cuadrado: 2 = p²/q², es decir, p² = 2q².
- Entonces p² es par. Y si p² es par, p es par (si p fuera impar, p² sería impar).
- Escribimos p = 2k. Sustituyendo: (2k)² = 2q² ⟹ 4k² = 2q² ⟹ q² = 2k².
- Con el mismo razonamiento, q² es par y por tanto q es par.
- Pero entonces p y q son ambos pares, y la fracción p/q no era irreducible. Contradicción.
Luego la suposición inicial es falsa: √2 ∉ ℚ.
∎
𝕀 · Los irracionales
Ejemplos: √2, √3, π, e, φ = (1 + √5)/2, log₂3.
ℝ · Los reales y el axioma que lo cambia todo
Aquí está el punto importante de la lección. ℚ cumple todos los axiomas de cuerpo ordenado: suma, producto, orden compatible… Y sin embargo no sirve para hacer cálculo. Le falta una única cosa.
Cotas, supremo e ínfimo
| Conjunto A | inf A | min A | sup A | max A |
|---|---|---|---|---|
| [0, 1] | 0 | 0 | 1 | 1 |
| (0, 1) | 0 | no existe | 1 | no existe |
| {1/n : n ∈ ℕ} | 0 | no existe | 1 | 1 |
| ℕ | 1 | 1 | no existe | no existe |
| {x ∈ ℝ : x² < 2} | −√2 | no existe | √2 | no existe |
El axioma del supremo
Esto es exactamente lo que le falta a ℚ. Míralo:
Dos consecuencias que usarás sin darte cuenta
Es la razón de que 1/n → 0. Sin ella, los límites del curso no tendrían sentido.
Consecuencia práctica: cualquier real se puede aproximar tanto como quieras por racionales. Es lo que hace la calculadora cada vez que te enseña π ≈ 3,141592654.
Valor absoluto: la distancia del curso
En Cálculo I, "|x − a| pequeño" se lee siempre como "x está cerca de a". Esta notación aparece en la definición de límite, de continuidad y de derivada.
Propiedades que conviene tener automatizadas:
|x·y| = |x|·|y| · |x| ≤ r ⟺ −r ≤ x ≤ r · ||x| − |y|| ≤ |x − y|
para todos x, y ∈ ℝ y todo r > 0Demostración
Para cualquier real z se cumple −|z| ≤ z ≤ |z|. Aplicándolo a x y a y y sumando las dos cadenas:
−(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|
Y por la propiedad |t| ≤ r ⟺ −r ≤ t ≤ r con t = x + y y r = |x| + |y|, se concluye |x + y| ≤ |x| + |y|.
∎
Intervalos
| Notación | Significa | ¿Incluye extremos? |
|---|---|---|
| [a, b] | a ≤ x ≤ b | los dos |
| (a, b) | a < x < b | ninguno |
| [a, b) | a ≤ x < b | solo a |
| (a, +∞) | x > a | solo por la izquierda, abierto |
| (−∞, b] | x ≤ b | solo b |
ℂ · Los complejos, en un párrafo
Con ℂ toda ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n raíces (contando multiplicidad): es el teorema fundamental del álgebra. El precio que se paga es el orden: en ℂ no existe un orden compatible con las operaciones, así que escribir z₁ < z₂ no significa nada. Por eso Cálculo I vive en ℝ y no en ℂ.
Resumen de qué se puede hacer en cada conjunto
| ℕ | ℤ | ℚ | ℝ | ℂ | |
|---|---|---|---|---|---|
| Sumar y multiplicar | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ |
| Restar | ❌ | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ |
| Dividir (≠ 0) | ❌ | ❌ | ✅ | ✅ | ✅ |
| Raíces de números positivos | ❌ | ❌ | ❌ | ✅ | ✅ |
| Raíces de números negativos | ❌ | ❌ | ❌ | ❌ | ✅ |
| Axioma del supremo | ❌ | ❌ | ❌ | ✅ | ❌ |
| Estar ordenado | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ❌ |
Comprueba que lo tienes
Errores típicos de examen
Preguntas frecuentes
¿El cero es un número natural?
Depende del convenio. En ingeniería en España lo habitual es ℕ = {1, 2, 3, …} y escribir ℕ₀ cuando se quiere incluir el 0. Lo importante es fijarlo al principio del curso y ser coherente.
¿Un número con infinitos decimales es siempre irracional?
No. 0,333… tiene infinitos decimales y vale 1/3. Un número es racional exactamente cuando su desarrollo decimal es finito o periódico.
¿Por qué se necesita el axioma del supremo en Cálculo I?
Porque es lo único que distingue ℝ de ℚ, y de él salen Bolzano, Weierstrass, el teorema del valor medio y la convergencia de sucesiones monótonas acotadas. Sin él, ℚ cumpliría todos los demás axiomas y el cálculo no funcionaría.
¿Cuál es la diferencia entre supremo y máximo?
El máximo es una cota superior que además está dentro del conjunto. El supremo es la menor de las cotas superiores, esté dentro o no. Si el máximo existe, coincide con el supremo.
¿Hay más irracionales que racionales?
Sí, y con una diferencia enorme: ℚ es numerable (se puede poner en lista) y ℝ no lo es. Es decir, "casi todos" los reales son irracionales, aunque los que sabemos nombrar sean pocos.