Axiomas, definiciones y teoremas
Cómo se construye una teoría matemática y cómo se demuestra
En bachillerato se aprende a calcular. En la universidad se aprende a demostrar. Y el primer problema no es la dificultad de las demostraciones: es que nadie explica qué es cada cosa. Esta lección pone nombre a las piezas antes de empezar a usarlas.
Las matemáticas son un edificio
Todo resultado se apoya en otro anterior. Como esa cadena no puede ser infinita, hay que empezar por algo que se acepta sin justificar. Esa es la única "trampa" de las matemáticas, y está declarada desde el principio.
Términos primitivos
Toda definición usa palabras ya conocidas. Si definimos cada palabra, entramos en un bucle infinito o en un círculo. La salida es dejar unos pocos términos sin definir.
En Cálculo I los primitivos son conjunto, pertenencia (∈) y número real. ℝ no se define: se caracteriza como "el cuerpo ordenado completo".
Axiomas
Un buen sistema de axiomas debe ser consistente (no permitir demostrar algo y su contrario) e idealmente independiente (ninguno deducible de los demás).
Los axiomas de ℝ, agrupados
| Grupo | Qué dicen | Ejemplo |
|---|---|---|
| Cuerpo (suma y producto) | asociativa, conmutativa, elemento neutro, opuesto, inverso, distributiva | a + (b + c) = (a + b) + c |
| Orden | tricotomía y compatibilidad con las operaciones | a < b ⟹ a + c < b + c |
| Completitud | el axioma del supremo | todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo |
Los dos primeros grupos los cumple también ℚ. El tercero es el que define ℝ.
Definiciones
Una definición no se demuestra ni se discute: se acepta y se usa. Lo único que se le puede reprochar es ser ambigua o inútil.
Proposiciones, lemas, teoremas y corolarios
Los cuatro son afirmaciones verdaderas y demostradas. La diferencia es de peso y de intención, no de lógica.
| Nombre | Qué papel juega | Ejemplo del curso |
|---|---|---|
| Proposición | resultado verdadero de importancia modesta | la suma de dos funciones continuas es continua |
| Lema | resultado auxiliar, se demuestra para usarlo después | toda sucesión tiene una subsucesión monótona |
| Teorema | resultado central, con nombre propio | Bolzano, Rolle, valor medio, Weierstrass |
| Corolario | consecuencia casi inmediata de un teorema | el teorema del valor medio a partir de Rolle |
Ejemplo vivo: la conjetura de Goldbach (1742) dice que todo par mayor que 2 es suma de dos primos. Se ha comprobado por ordenador hasta cifras enormes y sigue sin demostrarse. Comprobar casos no es demostrar.
Anatomía de un teorema
Casi todo teorema tiene la forma «si H, entonces T»: hipótesis ⟹ tesis.
f continua en [a, b] y f(a)·f(b) < 0 ⟹ ∃ c ∈ (a, b) con f(c) = 0
Teorema de BolzanoDirecto, recíproco, contrario y contrarrecíproco
| Nombre | Enunciado | ¿Equivale al directo? |
|---|---|---|
| Directo | P ⟹ Q | — |
| Recíproco | Q ⟹ P | ❌ No |
| Contrario | ¬P ⟹ ¬Q | ❌ No |
| Contrarrecíproco | ¬Q ⟹ ¬P | ✅ Sí |
Con un ejemplo tonto se ve de inmediato. Directo: «si llueve, el suelo está mojado» (verdadero). Recíproco: «si el suelo está mojado, llueve» (falso: puede ser una manguera). Contrarrecíproco: «si el suelo no está mojado, no llueve» (verdadero).
Condición necesaria y condición suficiente
En P ⟹ Q:
- P es condición suficiente para Q (con P basta).
- Q es condición necesaria para P (sin Q, P no puede darse).
derivable ⟹ continua
Ser derivable es suficiente para ser continua. Ser continua es necesario para ser derivable, pero no suficiente: |x| es continua en 0 y no derivable. Cuando se cumplen las dos implicaciones se escribe P ⟺ Q, y se dice «si y solo si» o «condición necesaria y suficiente». En ese caso hay que demostrar las dos direcciones.
Cuantificadores y cómo se niegan
| Símbolo | Se lee | Para demostrarlo | Para refutarlo |
|---|---|---|---|
| ∀ | para todo | demostración general | un contraejemplo |
| ∃ | existe | exhibir uno | demostrar que ninguno vale |
Al negar, cada cuantificador cambia y la propiedad final se niega. Ejemplo con la definición de límite, que es la que más cuesta:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⟹ |f(x) − L| < ε
lím f(x) = L cuando x → a∃ε > 0 : ∀δ > 0, ∃x con 0 < |x − a| < δ y |f(x) − L| ≥ ε
negación: el límite NO es LLos métodos de demostración
Un ejemplo completo con hipótesis y tesis
Demostración por reducción al absurdo
- Supongamos que la tesis es falsa: x + y ∈ ℚ. Llamémoslo s = x + y.
- Por hipótesis x ∈ ℚ, y ℚ es cerrado para la resta, así que s − x ∈ ℚ.
- Pero s − x = (x + y) − x = y.
- Luego y ∈ ℚ, lo que contradice la hipótesis de que y es irracional.
- Por tanto la suposición era falsa y x + y ∈ 𝕀.
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Errores típicos al demostrar
Comprueba que lo tienes
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre un axioma y un teorema?
El axioma se acepta sin demostración; es una regla de partida que elegimos. El teorema se deduce de los axiomas, las definiciones y lo ya demostrado, y no se puede usar hasta demostrarlo.
¿Un lema y un teorema son lo mismo?
Lógicamente sí. La diferencia es de intención: el lema es un resultado auxiliar para demostrar otra cosa; el teorema tiene interés propio. La frontera es de estilo.
¿Por qué vale el contrarrecíproco y no el recíproco?
Porque P ⟹ Q y ¬Q ⟹ ¬P tienen la misma tabla de verdad, mientras que Q ⟹ P es una afirmación distinta que puede ser verdadera o falsa de forma independiente.
¿Un ejemplo demuestra un teorema?
No. Un «para todo» no se demuestra con ejemplos, por muchos que sean. Un solo contraejemplo, en cambio, basta para refutarlo.
¿Qué diferencia hay entre «necesario» y «suficiente»?
En P ⟹ Q, P es suficiente para Q (con P basta) y Q es necesario para P (sin Q, P no puede darse). Continua es necesario para derivable; derivable es suficiente para continua.